Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于切點為G，連接AG交CD于K．

（1）求證：KE=GE；

（2）若KG2=KDGE，試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC∥EF，證明見解析；（3）FG= ．

【解析】

試題（1）如圖1，連接OG．根據切線性質及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據等角對等邊得到KE=GE；

（2）AC與EF平行，理由為：如圖2所示，連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KDGE，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，從而得到AC∥EF；

（3）如圖3所示，連接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圓的半徑，根據勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．

試題解析：（1）如圖1，連接OG．

∵EG為切線，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由為連接GD，如圖2所示．

∵KG2=KDGE，即 ，

∴ ，

又∵∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，

又∵∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）連接OG，OC，如圖3所示，

∵EG為切線，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

∵sinE=sin∠ACH=

，設AH=3t，則AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5t，

∴HK=CK-CH=t．

在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（2 ）2，解得t= ．

設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．

∵EF為切線，

∴△OGF為直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH= ，

∴FG=