Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，交軸正半軸于點，與過點的直線相交于另一點，過點作軸，垂足為．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點在線段上（不與點，重合），過作軸，交直線于，交拋物線于點，于點，求的最大值；

（3）若是軸正半軸上的一動點，設的長為．是否存在，使以點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據點B、D坐標，利用待定系數法求解即可得；

（2）先由（1）的結論求出點A坐標，再利用待定系數法求出直線AD的解析式，設，可得點M、N坐標，從而可用t表示MN的長，然后根據的面積的兩種求法列出等式解出NE的表達式，最后利用二次函數的性質求解即可得；

（3）分點在左側和在右側兩種情況，分別求出MN的值，再根據求解即可．

（1）把點，點代入得

解得

故拋物線的表達式為；

（2）令，代入拋物線解析式得

設直線的解析式為

將點代入直線的解析式得

解得

則直線的解析式為

設，（）

∴，

∴

∵

又∵

∴

解得

由二次函數的性質得：當時，隨t的增大而增大；當時，隨t的增大而減小

則當時，取得最大值，最大值為；

（3）∵

∴點的橫坐標為

∴，

①在左側時，

若，即，以點為頂點的四邊形是平行四邊形

∵，方程無實根

則此時不存在，使以點為頂點的四邊形是平行四邊形

②當在右側時，

若，即，以點為頂點的四邊形是平行四邊形

解得，（舍）

則當時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形

綜上，存在這樣的t，t的值為．