Question

如圖，在直角坐標系中，已知點P₀的坐標為（1，0），將線段OP₀按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數）。

Answer 1

解：（1）根據旋轉規律，點P₆落在y軸的負半軸，而點P_x到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍，故P₅的坐標為（0，-25），即P₆（0，-64）；
（2）由已知可得，
設，則，
又，
（3）由題意知，OP₀旋轉8次之后回到軸正半軸，在這8次甲，點Pn分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數，因此，點P_n的坐標可分三類情況：令旋轉次數為n。①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數），點P_n落在x軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（2ⁿ，0）；②當n-8k+1或n-8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數），點P_n落在各象限的平分線上，此時，點P_n的絕對坐標為；
③當n-8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數），點P_n落在y軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（0，2ⁿ）。