Question

如下數表，是由從1開始的連續自然數組成的，觀察規律并完成下列
各題的解答．
1
2   3   4
5   6   7   8    9
10  11  12  13  14   15   16
17  18  19  20  21  22  23  24  25
26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36
（1）表中第8行的最后一個數是

64

它是自然數

8

的平方，第8行共有

15

個數；
（2）用含n的代數式表示：第n行的第一個數是

n²-2n+2

，最后一個數是

n²

，第n行共有

2n-1

個數；
（3）若將每行最中間的數取出，得到新的一列數1，3，7，13，21，31…，則第n個和第（n-1）個數的差是多少？其中有兩個相鄰的數的差是24，那么這兩個數分別在原數表的第幾行？

Answer 1

分析：（1）數為自然數，每行數的個數為1，3，5，…的奇數列，很容易得到所求之數；
（2）知第n行最后一數為n²，則第一個數為n²-2n+2，每行數由題意知每行數的個數為1，3，5，…的奇數列，故個數為2n-1；
（3）根據規律寫出第n和第n-1個數后即可得到其差，令其差為24即可求得行數．

解答：解：（1）每行數的個數為1，3，5，…的奇數列，由題意最后一個數是該行數的平方即得64，
其他也隨之解得：8，15；

（2）由（1）知第n行最后一數為n²，則第一個數為n²-2n+2，
每行數由題意知每行數的個數為1，3，5，…的奇數列，
故個數為2n-1；

（3）第n個和第（n-1）個數的差是2（n-1）；        （8分）
2（n-1）=24
n-1=12
n=13
這兩個數分別在原數表的第12行和第13行．（10分）

點評：本題考查了整式的混合運算，（1）看數的規律，自然數的排列，每排個數1，3，5，…從而求得；（2）最后一數是行數的平方，則第一個數即求得；（3）通過以上兩部列公式從而解得．本題看規律為關鍵，橫看，縱看．