Question

【題目】我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.下面我們依次對展開式的各項系數進一步研究發現，當取正整數時可以單獨列成表中的形式：

例如，在三角形中第二行的三個數1，2，1，恰好對應展開式中的系數，

(1)根據表中規律，寫出的展開式；

(2)多項式的展開式是一個幾次幾項式？并預測第三項的系數；

(3)請你猜想多項式取正整數）的展開式的各項系數之和（結果用含字母的代數式表示）；

(4)利用表中規律計算：（不用表中規律計算不給分）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）次項式，第三項的系數為：；（3）；（4）1.

【解析】

(1)可以根據題意寫出答案，

(2)分別用、、去探究它們之間的關系，找出規律即可，

(3)分別用、、先求出它們的系數和，找出規律即可，

(4)通過觀察可把正負號轉化為的偶次方和奇次方，然后把式子轉化為題中所給的形式即可得出答案.

解：根據題意可得：

（1）觀察表中信息可寫出：，

（2）當時，多項式的展開式是一次二項式，此時第三項的系數為，

當時，多項式的展開式是二次三項式，此時第三項的系數為，

當時，多項式的展開式是三次四項式，此時第三項的系數為，

多項式的展開式是一個次項式，

第三項的系數為：；

（3）當時，多項式的各項系數之和為：，

當時，多項式的各項系數之和為：，

當時，多項式的各項系數之和為：，

多項式展開式的各項系數之和為：

（4）

=

=

=1.