Question

【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方．
（1）若P（1，﹣3）、B（4，0），
①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標；
（2）如圖2，在（1）中的拋物線解析式不變的條件下，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點，點點P運動時，OE+OF是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得 ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ ；

②如圖1，

當點D在OP左側時，

由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，

∴D與P關于y軸對稱，且P（1，﹣3），

∴D（﹣1，﹣3）；

當點D在OP右側時，延長PD交x軸于點G．

作PH⊥OB于點H，則OH=1，PH=3．

∵∠DPO=∠POB，

∴PG=OG．

設OG=x，則PG=x，HG=x﹣1．

在Rt△PGH中，由x2=（x﹣1）2+32，得x=5．

∴點G（5，0）．

∴直線PG的解析式為y= x﹣ ，

解方程組 得 或 ，．

∵P（1，﹣3），

∴D（ ，﹣ ）．

∴點D的坐標為（﹣1，﹣3）或（ ，﹣ ）．

（2）

解：點P運動時，OE+OF是定值，定值為2，理由如下：

如圖2，作PQ⊥AB于Q點，

設P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），則at2+c=0，c=﹣at2．

∵PQ∥OF，

∴ = ，

∴OF= =﹣ = ═amt+at2．

同理OE=﹣amt+at2，

∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC= ．

【解析】（1）①根據待定系數法求函數解析式，可得答案；②根據平行線的判定，可得PD∥OB，根據函數值相等兩點關于對稱軸對稱，可得D點坐標；（2）作PQ⊥AB于Q點，設P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），可表示出OE、OF的長，可得答案．