Question

【題目】問題探究

（1）如圖1，請在半徑為的半圓內（含弧和直徑）畫出面積最大的三角形，并求出這個三角形的面積；

（2）如圖2，請在半徑為的內（含弧）畫出面積最大的矩形，并求出這個矩形的面積；

問題解決

（3）如圖3，是一塊草坪，其中，，，某開發商現準備再征一塊地，把擴充為四邊形，使，是否存在面積最大的四邊形？若存在，求出四邊形的最大面積；若不存在，請說明理由．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析；；（2）圖形見解析；矩形；（3）存在，最大面積為．

【解析】

（1）過圓心O作直徑的垂線得到最大的，求面積即可；

（2）作兩條互相垂直的直徑，作對角線，連成的四邊形即為最大的矩形，求其面積即可；

（3）如圖3，過A作AE⊥BC，交CB的延長線于E，分別求出EC、AE、AC的長，求的面積，在中，AC是定值，∠D=30°是定值，畫的外接圓O，由圖3可知：當D點與AC的距離最大時，的面積最大，設AC的中垂線交⊙O于，交AC于F，則即為D點與AC的最大距離，求出，代入面積公式求面積即可．

解：（1）如圖1，過點作，交于點，連接、，則即為所求．

（2）如圖2，過點作的任一直徑，再過點作，交于點、，連接、、、，則矩形即為所求．

矩形；

（3）存在面積最大的四邊形，理由如下：

如圖3，過點作交的延長線于點，

，

．

，，

，．

．

，

．

在中，是定值，是定值，

如圖3，、、三點在同一上（作、的中垂線，交點即為圓心），

的長度一定，

當點與的距離最大時，的面積最大．

設的中垂線交于點，交于點，

則即為點與的最大距離．

，

連接、，則。

是等邊三角形．

，．

∴．

，

在中，，

，

，

．

即四邊形的最大面積為．