Question

【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，在BC邊上取兩點E、F（點E在點F的左邊），以EF為邊所作等邊△PEF，頂點P恰好在AD上，直線PE、PF分別交直線AC于點G、H．

（1）求△PEF的邊長；

（2）若△PEF的邊EF在線段CB上移動，試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論；

（3）若△PEF的邊EF在射線CB上移動（分別如圖②和圖③所示，CF＞1，P不與A重合），（2）中的結論還成立嗎？若不成立，直接寫出你發現的新結論．

Answer 1

【答案】（1）△PEF的邊長為2；（2）PH﹣BE=1，證明過程見解析；（3）結論不成立，當1＜CF＜2時，PH=1﹣BE，當2＜CF＜3時，PH=BE﹣1．

【解析】

試題過P作PQ⊥BC，垂足為Q，由四邊形ABCD為矩形，得到∠B為直角，且AD∥BC，得到PQ=AB，又△PEF為等邊三角形，根據“三線合一”得到∠FPQ為30°，在Rt△PQF中，設出QF為x，則PF=2x，由PQ的長，根據勾股定理列出關于x的方程，求出x的值，即可得到PF的長，即為等邊三角形的邊長；

PH﹣BE=1，過E作ER垂直于AD，如圖所示，首先證明△APH為等腰三角形，在根據矩形的對邊平行得到一對內錯角相等，可得∠APE=60°，在Rt△PER中，∠REP=30°，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由PE求出PR，由PA=PH，則PH﹣BE=PA﹣BE=PA﹣AR=PR，即可得到兩線段的關系；

當若△PEF的邊EF在射線CB上移動時（2）中的結論不成立，由（2）的解題思路可知當1＜CF＜2時，PH=1﹣BE，當2＜CF＜3時，PH=BE﹣1．

試題解析：（1）過P作PQ⊥BC于Q（如圖1）， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，即AB⊥BC，

又∵AD∥BC， ∴PQ=AB=， ∵△PEF是等邊三角形， ∴∠PFQ=60°，

在Rt△PQF中，∠FPQ=30°， 設PF=2x，QF=x，PQ=，根據勾股定理得：，

解得：x=1，故PF=2， ∴△PEF的邊長為2；

（2）PH﹣BE=1，理由如下： ∵在Rt△ABC中，AB=，BC=3， ∴由勾股定理得AC=2，

∴CD=AC， ∴∠CAD=30° ∵AD∥BC，∠PFE=60°， ∴∠FPD=60°， ∴∠PHA=30°=∠CAD，

∴PA=PH， ∴△APH是等腰三角形， 作ER⊥AD于R（如圖2） Rt△PER中，∠RPE=60°， ∴PR=PE=1，

∴PH﹣BE=PA﹣BE=PR=1．

（3）結論不成立，

當1＜CF＜2時，PH=1﹣BE， 當2＜CF＜3時，PH=BE﹣1．