Question

【題目】已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，且對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，則方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的區間是（ ）
A.（0， ）
B.（ ，1）
C.（1，2）
D.（2，3）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根據題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3， 又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
則f（x）﹣log2x為定值，
設t=f（x）﹣log2x，則f（x）=log2x+t，
又由f（t）=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2；
則f（x）=log2x+2，f′（x）= ，
將f（x）=log2x+2，f′（x）= 代入f（x）﹣f′（x）=2，
可得log2x+2﹣ =2，
即log2x﹣ =0，
令h（x）=log2x﹣ ，
分析易得h（1）=﹣ ＜0，h（2）=1﹣ ＞0，
則h（x）=log2x﹣ 的零點在（1，2）之間，
則方程log2x﹣ =0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，
故選C．
根據題意，由單調函數的性質，可得f（x）﹣log2x為定值，可以設t=f（x）﹣log2x，則f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，對其求導可得f′（x）；將f（x）與f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，變形化簡可得log2x﹣ =0，令h（x）=log2x﹣ ，由二分法分析可得h（x）的零點所在的區間為（1，2），結合函數的零點與方程的根的關系，即可得答案．