Question

【題目】如圖1，O為直線AB上一點(diǎn)，OC為射線，∠AOC＝40°，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OD在射線OA上，另一邊OE與OC都在直線AB的上方．

（1）將三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若OD恰好平分∠AOC（如圖2），試說明OE平分∠BOC；

（2）將三角板繞點(diǎn)O在直線AB上方順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OD落在∠BOC內(nèi)部，且∠COD＝∠BOE時(shí)，求∠AOE的度數(shù)：

（3）將圖1中的三角板和射線OC同時(shí)繞點(diǎn)O，分別以每秒6°和每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，求第幾秒時(shí)，OD恰好與OC在同一條直線上？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）142.5°；（3）第10秒或第55秒時(shí).

【解析】

（1）由角平分線的性質(zhì)及同角的余角相等，可得答案；

（2）設(shè)∠COD＝α，則∠BOE＝3α，由題意得關(guān)于α的方程，求解即可；

（3）分兩種情況考慮：當(dāng)OD與OC重合時(shí)；當(dāng)OD與OC的反向延長(zhǎng)線重合時(shí)．

解：（1）∵OD恰好平分∠AOC

∴∠AOD＝∠COD

∵∠DOE＝90°

∴∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90°

∴∠BOE＝∠COE

∴OE平分∠BOC．

（2）設(shè)∠COD＝α，則∠BOE＝3α，當(dāng)OD在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，

∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+α

∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣90°＝90°

∴40°+α+3α＝90°

∴α＝12.5°

∴∠AOE＝180°﹣3α＝142.5°

∴∠AOE的度數(shù)為142.5°．

（3）設(shè)第t秒時(shí)，OD與OC恰好在同一條直線上，則∠AOD＝6t，∠AOC＝2t+40°；

當(dāng)OD與OC重合時(shí)，6t﹣2t＝40°

∴t＝10（秒）；

當(dāng)OD與OC的反向延長(zhǎng)線重合時(shí)，6t﹣2t＝180°+40°

∴t＝55（秒）

∴第10秒或第55秒時(shí)，OD恰好與OC在同一條直線上．