Question

【題目】如圖，拋物線G：y1＝a（x+1）2+2與H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于點B(1，﹣2)，且分別與y軸交于點D、E．過點B作x軸的平行線，交拋物線于點A、C，則以下結論：①無論x取何值，y2總是負數；②拋物線H可由拋物線G向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當﹣3＜x＜1時，隨著x的增大，y1﹣y2的值先增大后減小；④四邊形AECD為正方形．其中正確的是（　　）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由非負數的性質，即可證得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得無論x取何值，y2總是負數;

②由拋物線l1：y1＝a（x+1）2+2與l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于點B（1，﹣2），可求得a的值，然后由拋物線的平移的性質，即可得l2可由l1向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到;

③由 y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得隨著x的增大，y1﹣y2的值減小;

④首先求得點A，C，D，E的坐標，即可證得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可證得四邊形AECD為正方形.

解：①∵（x﹣2）2≥0,

∴﹣（x﹣2）2≤0,

∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0,

∴無論x取何值，y2總是負數;

故①正確;

②∵拋物線G：y1＝a（x+1）2+2與拋物線H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于點B（1，﹣2）,

∴當x＝1時，y＝﹣2,

即﹣2＝a（1+1）2+2,

解得：a＝﹣1;

∴y1＝﹣（x+1）2+2,

∴H可由G向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到;

故②正確;

③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6,

∴隨著x的增大，y1﹣y2的值減小;

故③錯誤;

④設AC與DE交于點F,

∵當y＝﹣2時，﹣（x+1）2+2＝﹣2,

解得：x＝﹣3或x＝1,

∴點A（﹣3,﹣2）,

當y＝﹣2時,﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2,

解得：x＝3或x＝1,

∴點C（3，﹣2）,

∴AF＝CF＝3，AC＝6,

當x＝0時，y1＝1，y2＝﹣5,

∴DE＝6，DF＝EF＝3,

∴四邊形AECD為平行四邊形,

∴AC＝DE,

∴四邊形AECD為矩形,

∵AC⊥DE,

∴四邊形AECD為正方形.

故④正確.

故選：B.