Question

【題目】如圖①，中，，點從點出發沿方向勻速運動，速度為1點是上位于點右側的動點，點是上的動點，在運動過程中始終保持，cm．過作交于，當點與點重合時點停止運動．設的而積為，點的運動時問為，與的函數關系如圖②所示：

（1）=_______，=_______；

（2）設四邊形的面積為，求的最大值；

（3）是否存在的值，使得以，，為頂點的三角形與相似？如果存在，求的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6，12；（2）時，有最大值16．（3）或

【解析】

(1)當t=4時，點E與C重合，此時AD=4，AC=AD+DE=4+2=6，故可求得AC=6;

由圖分析當t=0時，S=2.設M到AC的距離為h,所以DEh=2,所以h=2.易求得tan∠A=2，再在Rt中，解直角三角形可以求出AC的長.

(2) 四邊形的面積等于三角形MDE和三角形MNE的和，用含有t的式子表示出四邊形MDEN的面積，再求最值；

（3）兩個三角形中已有，如若再找到一對角相等，兩三角形相似，故需分情況進行討論：當或時，兩三角形相似.

解：（1）由圖可知：當t=4時，點E與C重合，此時AD=4，AC=AD+DE=4+2=6，故可求得AC=6;

當t=0時，S=2.設M到AC的距離為h,所以DEh=2,所以h=2.

∴tan∠A==2.

在Rt中，tan∠A==2.

∴BC=2AC=12.

（2）作于點，

∵，，∴，∴，

∵，

∴，

∵，，∴，

又∴，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴

，

根據題意，，

∴時，有最大值16．

（3）假設存在的值，使得以，，為頂點的三角形與相似．

∵，∴．

①當時，，∴，∴，，．

②當時，，此時，

∵，∴，∴，

∴，（舍去）

∴或時，以，，為頂點的三角形與相似．