Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系．

（1）猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；

（2）將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度a，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷（1）中得到的結論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）BH⊥DE，即BG⊥DE，理由見解析.

（2）BG=DE，BG⊥DE仍然成立，理由見解析.

【解析】試題分析:（1）根據正方形的性質，顯然三角形BCG順時針旋轉90°即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線之間的關系；

（2）結合正方形的性質，根據SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結論．

解：（1）BG=DE，BG⊥DE；

∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，

∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，

∴∠BCG=∠DCE，

在△BCG和△DCE中，

BC=DC∠BCG=∠DCE CG=CE，

∴△BCG≌△DCE（SAS），

∴BG=DE；

延長BG交DE于點H，

∵△BCG≌△DCE，

∴∠CBG=∠CDE，

又∠CBG+∠BGC=90°，

∴∠CDE+∠DGH=90°，

∴∠DHG=90°，

∴BH⊥DE，即BG⊥DE；

（2）BG=DE，BG⊥DE仍然成立，

在圖（2）中證明如下

∵四邊形ABCD、四邊形CEFG都是正方形

∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°

∴∠BCG=∠DCE，

∴△BCG≌△DCE（SAS）

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°

∴∠CDE+∠DHO=90°

∴∠DOH=90°

∴BG⊥DE．

點睛: 能熟練運用正方形的性質和全等三角形的判定定理分析解答相關問題，正方形的性質：正方形的四條邊相等，四個角都是直角；全等三角形的判定定理：有兩邊及夾角對應相等的兩三角形全等(SAS).