Question

【題目】我們知道三角形任意兩條中線的交點是三角形的重心．重心有如下性質：重心到頂點的距離是重心到對邊中點距離的2倍．請利用該性質解決問題

（1）如圖1，在△ABC中，AF、BE是中線，AF⊥BE于P．若BP＝2，∠FAB＝30°，則EP＝　 　，FP＝　 　；

（2）如圖1，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，AF、BE是中線，AF⊥BE于P．猜想a2、b2、c2三者之間的關系并證明；

（3）如圖2，在ABCD中，點E、F、G分別是AD、BC、CD的中點，BE⊥BG，AB＝3，AD＝2，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）a2+b2＝5c2，理由見解析；（3）AF＝4

【解析】

（1）由三角形的重心定理得出BP＝2EP＝2，AP＝2FP，得出EP＝1，由直角三角形的性質得出AP＝BP＝2，即可得出FP＝AP＝；

（2）設PF＝m，PE＝n，由 ，得到AP＝2m，PB＝2n，再由勾股定理即可得出結論；

（3）連接AC、EC，由平行四邊形的性質得出AD＝BC，AD∥BC，證明四邊形AFCE是平行四邊形，得出AF＝CE，由平行線得出△AEQ∽△CBQ，得出，設AQ＝a，EQ＝b，則CQ＝2a，BQ＝2b，證明EG是△ACD的中位線，由三角形中位線定理得出EG∥AC，得出BE⊥AC，由勾股定理得得出方程，求出a2＝，得出BQ2＝4b2＝，b2＝，在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得出AF的長．

解：（1）∵在△ABC中，AF、BE是中線，

∴BP＝2EP＝2，AP＝2FP，

∴EP＝1，

∵AF⊥BE，∠FAB＝30°，

∴AB=2BP=4，

∴AP＝，

∴FP＝AP＝；

故答案為：1，；

（2）a2+b2＝5c2；理由如下：

連接EF，如圖1所示：

∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF是△ABC的中位線，

∴EF∥AB，且EF＝AB＝c，

∴，

設PF＝m，PE＝n，

∴AP＝2m，PB＝2n，

在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝c2，即4m2+4n2＝c2，

在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（b）2，即4m2+n2＝b2，

在Rt△FPB中，m2+（2n）2＝（a）2，即m2+4n2＝a2，

∴5m2+5n2＝（a2+b2）＝c2，

∴a2+b2＝5c2；

（3）連接AC、EC，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵點E，F分別是AD，BC，CD的中點，

∴AE＝CE，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∴AF＝CE，

∵AD∥BC，

∴△AEQ∽△CBQ，

∴，

設AQ＝a，EQ＝b，則CQ＝2a，BQ＝2b，

∵點E，G分別是AD，CD的中點，

∴EG是△ACD的中位線，

∴EG∥AC，

∵BE⊥EG，

∴BE⊥AC，

由勾股定理得：AB2﹣AQ2＝BC2﹣CQ2，

即9﹣a2＝（2）2﹣4a2，

∴3a2＝11，

∴a2＝，

∴BQ2＝4b2＝（2）2﹣4×＝，

∴b2＝×＝，

在Rt△EQC中，CE2＝EQ2+CQ2＝b2+4a2＝16，

∴CE＝4，

∴AF＝4．