Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，DE=CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G．
（1）求證：AF⊥BE；
（2）試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數量關系；
（3）若GO：CF=4：5，試確定E點的位置．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABCD為正方形，且DE=CF，

∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

在△ABE和△DAF，

∵ ，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°，

∴∠AOE=90°，即AF⊥BE

（2）解：BO=AO+OG．

理由：由（1）的結論可知，

∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，

在△ABO和△DAG中，

∵ ，

則△ABO≌△DAG，

所以，BO=AG=AO+OG

（3）解：過E點作EH⊥DG，垂足為H，

由矩形的性質，得EH=OG，

∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5，

∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，

∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，

∴AB：BE=EH：ED=4：5，

在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，

故AE：AD=3：4，

即AE= AD．

【解析】（1）由DE=CF及正方形的性質，得出AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，證明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，而∠ABE+∠AEB=90°，利用互余關系得出∠AOE=90°即可；（2）由（1）的結論可證△ABO≌△DAG，得BO=AG=AO+OG；（3）過E點作EH⊥DG，垂足為H，則EH=OG，由DE=CF，GO：CF=4：5，得EH：ED=4：5，而AF⊥BE，AF⊥DG，則OE∥DG，∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：BE，由勾股定理得出AE：AB，從而得出AE：AD．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．