Question

【題目】如圖，△ABC，∠ACB=90°，點D，E分別在AB，BC上，AC=AD，∠CDE=45°，CD與AE交于點F，若∠AEC=∠DEB，CE=，則CF=______．

Answer 1

【答案】5

【解析】試題解析延長CE至G，使EC=EG，延長ED至H，使EH=AE，過D作DT∥BC，交AE于T，連接GH、AH，

設∠AEC=α，則∠DEB=α，
∵∠AEC=∠DEB=α，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=GH，∠ACE=∠EGH=90°，
∴AC∥GH，
∴四邊形ACGH是矩形，
∴AH∥CG，
∴∠AHE=∠HEG=α，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
設∠ACD=∠ADC=β，
∵∠CDE=45°，
∴β+45°+∠BDE=180°，
∴β=135°-∠BDE①，
∵△ACD是等腰三角形，
∴∠CAD=180°-2β，
∵△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=90°-∠CAD=90°-（180°-2β）=2β-90°，
在△BDE中，由內角和得：α+∠BDE+∠ABC=180°，
α+∠BDE+2β-90°=180°②，
把①代入②得：α+∠BDE+2（135°-∠BDE）-90°=180°，
∠BDE=α，
∴∠ADH=∠BDE=α，
∴AD=AH=AC，
∴四邊形ACGH是正方形，
∴AH=AC=2CE=，
∴AD=AC=，
∵∠BED=∠BDE=α，
∴BE=BD，
設BE=x，則BD=x，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴()2+(+x)2＝(+x)2，
解得：x=，
∴BE=BD=，
∴CE=2BE=2BD，
∴AD=4BD，
∴，
∵DT∥BC，
∴△ADT∽△ABE，
∴，
∵CE=2BE，
∴，
∵DT∥CE，
∴，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=
∴ET=AE=×=，
∴EF=ET=×=，
過F作FM⊥BC于M，
tanα=，
設EM=y，則FM=2y，EF=y，
∴y=，
y=，
∴FM=2y=，EM=y=，
∴CM=CE-EM=-=，
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF==5；
故答案為：5．