Question

十八世紀瑞士數學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1）根據上面多面體模型，你發現頂點數（V）、面數（F）、棱數（E）之間存在的關系式是______．
（2）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由五邊形和六邊形兩種多邊形拼接而成，且有60個頂點，每個頂點處都有3條棱，分別求該簡單多面體的外表面五邊形和六邊形的個數．

Answer 1

解：（1）四面體的頂點數為4、面數為4，棱數為6，則4+4-6=2；
長方體的頂點數為8、面數為6，棱數為12，則8+6-12=2；
正八面體的頂點數為6，面數為8，棱數為12，則8+6-12=2；
則關系式為：頂點數（V）+面數（F）-棱數（E）=2

（2）∵有60個頂點，每個頂點處都有3條棱，兩點確定一條直線；
∴共有60×3÷2=90條棱，
∴五邊形和六邊形的個數分別為12和20；
故答案為：頂點數（V）+面數（F）-棱數（E）=2．
分析：（1）先根據四面體、長方體、正八面體，正十二面體的頂點數、面數和棱數，總結出頂點數、面數、棱數之間存在的關系式即可．
（2）根據頂點數和每個頂點處都有3條棱，即可求出五邊形和六邊形的個數．
點評：本題考是一個找規律的題目，查了歐拉公式，由特殊到一般的思想在數學教學中常用到．