Question

如圖，△P₁OA₁、△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，點P₁、P₂在函數y=

4

x

(x＞0)的圖象上，斜邊OA₁、A₁A₂都在x軸上，則O

A

2 2

等于（　　）

A．8

B．16

C．32

D．64

Answer 1

分析：作P₁M⊥x軸，P₂N⊥x軸，分別交x軸于P₁，P₂兩點，如圖所示，由△P₁OA₁、△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，利用三線合一得到M、N分別為OA₁與A₁A₂的中點，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到P₁M=OM=MA₁，P₂N=A₁N=NA₂，設出P₁坐標為（a，a），代入反比例解析式中求出a的值，進而得到OA₁=2OM=4，由此設出P₂為（m+4，m），代入反比例解析式中求出m的值，確定出A₁A₂的長，由OA₁+A₁A₂得到OA₂的長，即可求出其平方的值．

解答：解：作P₁M⊥x軸，P₂N⊥x軸，分別交x軸于P₁，P₂兩點，如圖所示，
∵△P₁OA₁、△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，
∴P₁M=OM=MA₁，P₂N=A₁N=NA₂，
設P₁（a，a），
∵P₁在反比例函數y=

4

x

上，
∴a²=4，即a=2，（P₁在第一象限，-2舍去）
∴P₁（2，2），即P₁M=OM=MA₁=2，OA₁=2OM=4，
設P₂N=A₁N=NA₂=b，則P₂坐標為（b+4，b），
∵P₂在反比例函數y=

4

x

上，
∴b（b+4）=4，
整理得：（b+2）²=8，
開方得：b+2=2

2

或b+2=-2

2

，
解得：b=2

2

-2或b=-2

2

-2（舍去），
∴P₂N=A₁N=NA₂=2

2

-2，A₁A₂=2A₁N=4

2

-4，
則OA₂²=（OA₁+A₁A₂）²=（4+4

2

-4）²=32．
故選C．

點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：等腰直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，坐標與圖形性質，以及反比例函數的圖象與性質，熟練掌握性質是解本題的關鍵．