Question

在平面直角坐標系xOy中，點A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分別在直線y=kx+b和x軸上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），那么點A_n的縱坐標是______．

Answer 1

∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

）在直線y=kx+b上，
∴

k+b=1 7 2 k+b= 3 2

，
解得

k= 1 5 b= 4 5

，
∴直線解析式為y=

1

5

x+

4

5

，
如圖，設直線與x軸、y軸的交點坐標分別為N、M，
當x=0時，y=

4

5

，
當y=0時，

1

5

x+

4

5

=0，解得x=-4，
∴點M、N的坐標分別為M（0，

4

5

），N（-4，0），
∴tan∠MNO=

MO

NO

=

4 5

4

=

1

5

，
作A₁C₁⊥x軸于點C₁，A₂C₂⊥x軸于點C₂，A₃C₃⊥x軸于點C₃，
∵A₁（1，1），A₂（

7

2

，

3

2

），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×

3

2

=2+3=5，
tan∠MNO=

A3C3

NC3

=

A3C3

4+5+B2C3

=

1

5

，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=

9

4

=（

3

2

）²，
同理可求，第四個等腰直角三角形A₄C₄=

27

8

=（

3

2

）³，
依此類推，點A_n的縱坐標是（

3

2

）^n-1．
故答案為：（

3

2

）^n-1．