Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC是長方形，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上且A（10，0），C（0，6），點D在AB邊上，將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在OA邊上點E處．
（1）求點E的坐標；
（2）求折痕CD所在直線的函數表達式；
（3）請你延長直線CD交x軸于點F． ①求△COF的面積；
②在x軸上是否存在點P，使S△OCP= S△COF？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是長方形，

∴BC=OA=10，∠COA=90°，

由折疊的性質知，CE=CB=10，

∵OC=6，

∴在直角△COE中，由勾股定理得OE= =8，

∴E（8，0）

（2）解：設CD所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵C（0，6），

∴b=6，

設BD=DE=x，

∴AD=6﹣x，AE=OA﹣OE=2，

由勾股定理得AD2+AE2=DE2

即（6﹣x）2+22=x2，

解得x= ，

∴AD=6﹣ = ，

∴D（10， ），

代入y=kx+6 得，k=﹣ ，

故CD所在直線的解析式為：y=﹣ x+6

（3）解：①在y=﹣ x+6中，令y=0，則x=18，

∴F（18，0），

∴△COF的面積= ×OF×OC= ×18×6=54；

②在x軸上存在點P，使得S△OCP= S△COF，

設P（x，0），依題意得

×OP×OC= ×54，即 ×|x|×6=18，

解得x=±6，

∴在x軸上存在點P，使得S△OCP= S△COF，點P的坐標為（6，0）或（﹣6，0）．

【解析】（1）根據折疊的性質知CE=CB=10．在在直角△COE中，由勾股定理求得OE=8；（2）根據OC=6知C（0，6），由折疊的性質與勾股定理，求得D（10， ），利用待定系數法求CD所在直線的解析式；（3）①根據F（18，0），即可求得△COF的面積；②設P（x，0），依S△OCP= S△CDE得 ×OP×OC= ×54，即 ×|x|×6=18，求得x的值，即可得出點P的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．