Question

【題目】如圖，拋物線P：y1＝a（x＋2）2－3與拋物線Q：y2＝ （x－t）2＋1在同一個坐標系中（其中a、t均為常數，且t＞0），已知拋物線P過點A（1，3），過點A作直線l∥x軸，交拋物線P于點B．

（1）a＝________，點B的坐標是________；

（2）當拋物線Q經過點A時．

①求拋物線Q的解析式；

②設直線l與拋物線Q的另一交點記作C，求的值；

（3）若拋物線Q與線段AB總有唯一的交點，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（－5，3）；（2）①拋物線Q的解析式為：y2＝ （x－3）2＋1；②＝；（3）0＜t3．

【解析】

（1）先利用待定系數法求出拋物線P的解析式，即可得出結論；
（2）①利用待定系數法求出拋物線Q的解析式，即可得出結論；②先求出AC，AB即可得出結論；
（3）利用平移的特點和AB，AC的長即可得出結論．

解：（1）∵拋物線P：y1＝a（x＋2）2－3過點A（1，3），

∴9a－3＝3，

∴a＝，

∴拋物線P：y1＝ （x＋2）2－3，

∵x軸，

∴點B的縱坐標為3，

∴3＝ （x＋2）2－3，

∴x1＝1（點A的橫坐標），x2＝－5，

∴B（－5，3）．

（2）①∵拋物線Q：y2＝（x－t）2＋1過點A（1，3），

∴（1－t）2＋1＝3，

∴t1＝－1（舍去），t2＝3，

∴拋物線Q的解析式為：y2＝ （x－3）2＋1；

∵ x軸，

∴點C的縱坐標為3，

∴3＝（x－3）2＋1，

∴x1＝1（點A的橫坐標），x2＝5，

∴C（5，3），

∴AC＝5－1＝4，

由（1）知，B（－5，3），

∴AB＝1－（－5）＝6，

∴＝＝；

（3）∵拋物線Q：y2＝（x－t）2＋1

∴拋物線Q的開口大小一定，頂點坐標的縱坐標是1也是定值，
∴拋物線Q只是左右移動，
當拋物線Q向右平移的過程中，點A在拋物線Q的左側時，拋物線Q和線段AB有一個交點A，此時，t=3，
由（2）知，AC=4，將拋物線Q向左平移4個單位時，和線段AB有兩個交點，此段，－1＜t3時，拋物線Q與線段AB有一個交點，
再繼續把拋物線Q向左移動，移動到點B在拋物線Q的左側時，此時，此時，t=－3，
同上，拋物線Q與線段AB有一個交點，－7t＜－3，
∵t＞0，
即：0＜t3，拋物線Q與線段AB有一個交點．