Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，ABCD為長(zhǎng)方形，其中點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（﹣8，4）、（2，﹣8），且AD∥x軸，交y軸于M點(diǎn)，AB交x軸于N．

（1）求B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)方形ABCD的面積；

（2）一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)（不與A點(diǎn)重合），以個(gè)單位/秒的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接MP、OP，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AMP、∠MPO、∠PON之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使三角形AMP的面積等于長(zhǎng)方形面積的？若存在，求t的值并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（﹣8，﹣8），D（2，4），120；（2）∠MPO=∠AMP+∠PON；∠MPO=∠AMP-∠PON；（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，﹣6）．

【解析】

（1）利用點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和長(zhǎng)方形的性質(zhì)易得B（﹣8，﹣8），D（2，4），然后根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可計(jì)算長(zhǎng)方形ABCD的面積；

（2）分點(diǎn)P在線(xiàn)段AN上和點(diǎn)P在線(xiàn)段NB上兩種情況進(jìn)行討論即可得；

（3）由于AM=8，AP=t，根據(jù)三角形面積公式可得S△AMP =t，再利用三角形AMP的面積等于長(zhǎng)方形面積的，即可計(jì)算出t=20，從而可得AP=10，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法即可寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）∵點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（﹣8，4）、（2，﹣8），

∴B（﹣8，﹣8），D（2，4），

長(zhǎng)方形ABCD的面積=（2+8）×（4+8）=120；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AN上時(shí)，作PQ∥AM，如圖，

∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM+∠QPO=∠AMP+∠PON，即∠MPO=∠AMP+∠PON；

當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段NB上時(shí)，作PQ∥AM，如圖，

∵AM∥ON，∴AM∥PQ∥ON，∴∠QPM=∠AMP，∠QPO=∠PON，

∴∠QPM-∠QPO=∠AMP-∠PON，即∠MPO=∠AMP-∠PON；

（3）存在，

∵AM=8，AP=t，∴S△AMP=×8×t=2t，

∵三角形AMP的面積等于長(zhǎng)方形面積的，

∴2t=120×=40，∴t=20,AP=×20=10，

∵AN=4，

∴PN=6

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，﹣6）．