Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．  
（1）用含x的代數式表示△ＭNP的面積S；     
（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？      
（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式.

Answer 1

解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴△AMN ∽△ABC．
∴，即．
∴AN＝x．         
∴=．（0＜＜4） 
（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連結AO，OD，則AO="OD" =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽△ABC．
∴，即．  
∴，
∴． 
過M點作MQ⊥BC于Q，則． 
在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴．
∴，
．
∴x＝． 
∴ 當x＝時，⊙O與直線BC相切．
（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連結AP，則O點為AP的中點．
∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴△AMO ∽△ABP．  
∴． AM＝MB＝2． 
故以下分兩種情況討論：
① 當0＜≤2時，．  
② 當2＜＜4時，設PM，PN分別交BC于E，F．
∵ 四邊形AMPN是矩形，  
∴PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．
∴ FN＝BM＝4－x． 
∴．
又△PEF ∽△ACB． 
∴．
∴．
＝．

（1）由于三角形PMN和AMN的面積相當，那么可通過求三角形AMN的面積來得出三角形PMN的面積，求三角形AMN的面積可根據三角形AMN和ABC相似，根據相似比的平方等于面積比來得出三角形AMN的面積；
（2）當圓O與BC相切時，O到BC的距離就是MN的一半，那么關鍵是求出MN的表達式，可根據三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表達式，也就求出了O到BC的距離的表達式，如果過M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距離，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函數以及BM的表達式表示出MQ，然后讓這兩表示MQ的含x的表達式相等，即可求出x的值；
（3）要求重合部分的面積首先看P點在三角形ABC內部還是外面，因此可先得出這兩種情況的分界線即當P落到BC上時，x的取值，那么P落點BC上時，MN就是三角形ABC的中位線，此時AM=2，因此可分兩種情況進行討論：
①當0＜x≤2時，此時重合部分的面積就是三角形PMN的面積，三角形PMN的面積（1）中已經求出，即可的x，y的函數關系式．②當2＜x＜4時，如果設PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四邊形MEFN，可通過三角形PMN的面積-三角形PEF的面積來求重合部分的面積．不難得出PN=AM=x，而四邊形BMNF又是個平行四邊形，可得出FN=BM，也就有了FN的表達式，就可以求出PF的表達式，然后參照（1）的方法可求出三角形PEF的面積，即可求出四邊形MEFN的面積，也就得出了y，x的函數關系式．