Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，點M在邊BC上，且∠MDB =∠ADB，．

（1）求證：BM=CM；
（2）作BE⊥DM，垂足為點E，并交CD于點F．
求證：．

Answer 1

（1）證明線段相等，首選全等三角形，不行再選擇證明等腰三角形，繼而使用等量代換證明。
（2）通過證明相似形，找出相關比例，繼而證明幾何題中的代數關系。

試題分析： 證明：（1）∵ AB⊥BC，∴ ∠ABC = 90º．
∵ AD // BC，∴ ∠CBD =∠ADB，∠BAD +∠ABC = 180º．
即得 ∠BAD = 90º．
∵ ，∴ ．
又∵ ∠CBD =∠ADB，
∴ △BCD∽△DBA．
∴ ∠BDC =∠BAD = 90º．
∴ ∠DBC +∠C = 90º．
∵ ∠MDB=∠ADB，∠MBD =∠ADB，
∴ ∠MBD =∠MDB．∴ BM = MD．
又∵ ∠BDM +∠CDM =∠BDC = 90º，
∴ ∠C =∠CDM．
∴ CM = MD．∴ BM = CM．
（2）∵ BE⊥DM，
∴ ∠DEF =∠BDC = 90º．
∴ ∠FDE +∠DFE = 90º，∠DBF +∠DFE = 90º．
∴ ∠FDE =∠DBF．
又∵ ∠FDE =∠C，
∴ ∠DBF =∠C．
于是，由 ∠FDB =∠BDC = 90º，∠DBF =∠C，
得 △FDB∽△BDC．
∴ ．即 ．
∵ BM = CM，∠BDC = 90º，∴ BC = 2DM．
又∵ ，
∴ ．
點評：該題主要考查學生對相似三角形性質的掌握，同時學生要學會用逆向思維思考題目的解決方法，由邊相等想到角相等、全等三角形，或者線段的相加減。