Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，O為菱形ABCD的對稱中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N為線段CD上一點（不與C、D重合）．

（1）求以C為頂點，且經過點D的拋物線解析式；
（2）設N關于BD的對稱點為N1 ， N關于BC的對稱點為N2 ， 求證：△N1BN2∽△ABC；
（3）求（2）中N1N2的最小值；
（4）過點N作y軸的平行線交（1）中的拋物線于點P，點Q為直線AB上的一個動點，且∠PQA=∠BAC，求當PQ最小時點Q坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知，設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2

把D（0，﹣1）代入，得a=﹣

∴y=﹣ （x﹣2）2

（2）

解：如圖1，連結BN．

∵N1，N2是N的對稱點

∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC

∴∠N1BN2=2∠DBC

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC

∴∠ABC=∠N1BN2，

∴△ABC∽△N1BN2

（3）

解：∵點N是CD上的動點，

∴點到直線的距離，垂線段最短，

∴當BN⊥CD時，BN最短．

∵C（2，0），D（0，﹣1）

∴CD= ，

∴BNmin= = ，

∴BN1min=BNmin= ，

∵△ABC∽△N1BN2

∴ ，

N1N2min= ，

（4）

解：如圖2，

過點P作PE⊥x軸，交AB于點E．

∵∠PQA=∠BAC

∴PQ1∥AC

∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）

∴A（﹣2，0），B（0，1）

∴lAB：y= x+1

不妨設P（m，﹣ （m﹣2）2），則E（m， m+1）

∴PE= m2﹣ m+2

∴當m=1時， ，

∴P（1，﹣ ），

∴Q1（﹣ ，﹣ ）．

此時，PQ1最小，最小值為 = ，

∴PQ1=PQ2= ．

設Q2（n， n+1），

∵P（1，﹣ ），

∴PQ2= = ，

∴n=﹣ 或n= ，

∴Q2（ ， ），

∴滿足條件的Q（﹣ ，﹣ ）或（ ， ）

【解析】（1）用待定系數法求，即可；（2）由對稱的特點得出∠N1BN2=2∠DBC結合菱形的性質即可；（3）先判定出，當BN⊥CD時，BN最短，再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式，求解，即可；（4）先建立PE= m2﹣ m+2函數解析式，根據拋物線的特點確定出最小值．