Question

分解因式：
（1）（2x²﹣3x+1）²﹣22x²+33x﹣1；
（2）x⁴+7x³+14x²+7x+1；
（3）（x+y）³+2xy（1﹣x﹣y）﹣1；
（4）（x+3）（x²﹣1）（x+5）﹣20．

Answer 1

（1）x（2x﹣3）（2x+3）（x﹣3）
（2）（x²+4x+1）（x²+3x+1）
（3）（x+y﹣1）（x²+y²+x+y+1）
（4）（x²+4x+5）（x²+4x﹣7）

試題分析：（1）把2x²﹣3x+1看成整體，構造和它有關的式子，然后進一步分解；
（2）由x的最高指數，聯想到[（x+1）²]²，努力構造這個形式解答；
（3）第一、三項符合立方差公式，再提取公因式即可；
（4）把原式化為（x+3）（x+1）（x﹣1）（x+5）﹣20=（x²+4x+3）（x²+4x﹣5）﹣20，把x²+4x看成整體解答．
解：（1）（2x²﹣3x+1）²﹣22x²+33x﹣1，
=（2x²﹣3x+1）²﹣11（2x²﹣3x+1）+10，
=（2x²﹣3x+1﹣1）（2x²﹣3x+1﹣10），
=（2x²﹣3x）（2x²﹣3x﹣9），
=x（2x﹣3）（2x+3）（x﹣3）；
（2）x⁴+7x³+14x²+7x+1，
=x⁴+4x³+6x²+4x+1+3x³+6x²+3x+2x²，
=[（x+1）²]²+3x（x+1）²+2x²，
=[（x+1）²+2x][（x+1）²+x]，
=（x²+4x+1）（x²+3x+1）；
（3）（x+y）³+2xy（1﹣x﹣y）﹣1
=[（x+y）³﹣1]+2xy（1﹣x﹣y）
=（x+y﹣1）[（x+y）²+x+y+1]﹣2xy（x+y﹣1）
=（x+y﹣1）（x²+y²+x+y+1）；
（4）（x+3）（x²﹣1）（x+5）﹣20，
=（x+3）（x+1）（x﹣1）（x+5）﹣20，
=（x²+4x+3）（x²+4x﹣5）﹣20，
=（x²+4x）²﹣2（x²+4x）﹣15﹣20，
=（x²+4x+5）（x²+4x﹣7）．
點評：此題主要考查分組分解法分解因式，綜合利用了十字相乘法、公式法和提公因式法分解因式，難度較大，要靈活對待，還要有整體思想．