Question

如圖，在中，AB=AC=10cm， BC=16cm，DE=4cm．線段DE（端點D從點B開始）沿BC邊以1cm／s的速度向點C運動，當端點E到達點C時停止運動．過點E作EF∥AC交AB于點F，連接DF，設運動的時間為t秒（t≥0）．

（1）用含t的代數式表示線段EF的長度為    ；
（2）在運動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，試說明理由．
（3）設M、N分別是DF、EF的中點，請直接寫出在整個運動過程中，線段MN所掃過的圖形的面積．

Answer 1

（1）；（2）、或秒；（3）cm²

試題分析：（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得EF的長；
（2）分三種情況討論：①當DF=EF時，②當DE=EF時，③當DE=DF時，利用等腰三角形的性質與相似三角形的判定與性質，即可求得答案；
（3）首先設P是AC的中點，連接BP，可證得點B，N，P共線，即可得點N沿直線BP運動，MN也隨之平移，設MN從ST位置運動到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形，然后求得?PQST的面積即為MN所掃過的面積．
（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得.
（2）分三種情況討論：
①當時，有

∴點與點重合，∴…
②當時

∴，解得：
③當時，有

∴△DEF∽△ABC.
∴，即，解得：.
綜上所述，當、或秒時，△為等腰三角形；
（3）整個運動過程中，MN所掃過的圖形的面積為cm² 
設P是AC的中點，連接BP，
∵∥∴△∽△.
∴  ∴
又 ∴△∽△∴
∴點沿直線BP運動，MN也隨之平移.
如圖，設MN從ST位置運動到PQ位置，
則四邊形PQST是平行四邊形.
∵、分別是、的中點，∴∥DE，且ST=MN=
分別過點T、P作TK⊥BC，垂足為K，PL⊥BC，垂足為L，延長ST交PL于點R，則四邊形TKLR是矩形.

當t=0時，EF=（0+4）=TK=EF···
當t=12時，EF=AC=10，PL=AC··10·
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-
∴S＝ST·PR=2×即整個運動過程中，MN所掃過的圖形的面積為cm²．
點評：此題綜合性很強，難度較大，注意掌握分類討論思想、方程思想與數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．