Question

如圖1，一個無蓋的正方體盒子的棱長為30厘米，頂點C₁處有一只昆蟲甲，在盒子的內部頂點A處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計）
（1）假設昆蟲甲在頂點C₁處靜止不動，如圖1，在盒子的內部我們先取棱BB₁的中點E，再連接AE、EC₁．昆蟲乙如果沿路徑A→E→C_l爬行，那么可以在最短的時間內捕捉到昆蟲甲．仔細體會其中的道理，并在圖①中畫出另一條路徑，使昆蟲乙從頂點A沿這條路徑爬行，同樣可以在最短的時間內捕捉到昆蟲甲（請簡要說明畫法）．
（2）如圖2，假設昆蟲甲從頂點C₁以a厘米/秒的速度在盒子的內部沿C₁C向下爬行，同時昆蟲乙從頂點A以2.5厘米/秒的速度在盒內壁沿A→F→G爬行，恰好在最短的時間內捕捉到昆蟲甲．若最短時間為20秒，請你求出a的值．

Answer 1

解：（1）取棱A₁B₁的中點M，然后連接AM、MC₁；

（2）平面展開圖如下：

由題意得：C₁G=20a，CG=30-20a，DG=DC+CG=30+30-20a=60-20a，AG=2.5厘米/秒×20秒=50cm，
在RT△ADG中，AD²+DG²=AG²，即30²+（60-20a）²=50²，
解得：a=1．
分析：（1）當相鄰兩個面放在同一平面內時，過AC₁的線段必過公共棱的中點，按此方法，可找棱A₁B₁的中點M，然后連接AM、MC₁；
（2）聯系（1）中的方法，畫出平面圖形，利用勾股定理求得兩點間的最短路線，進而求解a的值．
點評：此題考查了最短路徑的問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉換為平面圖形的兩點間的線段長來進行解決，注意平面展開圖的分析．