Question

如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O經過BC的中點D，DE⊥AC于E。

（1）求證: DE是⊙O的切線；
（2）若, DE="6," 求⊙O的直徑。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）8.

試題分析：（1）連OD，先證明OD∥AC，再證明OD⊥DE．
（2）由∠C的余弦值得到∠C的度數，接著可得到三角形BOD是等邊三角形，由此得三角形ABC也是等邊三角形．求出DC就可得到AB．
試題解析：（1）證明：如圖，連接OD；

∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∵O為AB中點，D為BC中點，
∴OD為△ABC的中位線．
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠DEC=90°．
即OD⊥DE．
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．
∵，
∴∠C=60°．
∵OD∥AC，
∴∠BDO=∠C=60°．
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=60°．
∴△ABC為等邊三角形．
∵在△EDC中，∠DEC=90°，DE=6，
∴DC＝4
∵D為BC中點，
∴BC＝2DC＝8．
∴AB=8．
∴⊙O的直徑為8
考點: 切線的判定．