Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG。

(1)求證：矩形DEFG是正方形。

(2)當點E從A點運動到C點時；

①求證：∠DCG的大小始終不變；

②若正方形ABCD的邊長為2，則點G運動的路徑長為 。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;（2）①詳見解析;②

【解析】

（1）要證明矩形DEFG為正方形，只需要證明它有一組臨邊（DE和EF）相等即可，而要證明兩條線段相等，需證明它們所在的三角形全等，如下圖本小題的關鍵是證明△EMF≌△END，∠MEF=∠NED可用等角的余角證明，EM=EN可用角平分線上的點到角兩邊距離相等，∠EMF和∠END為一組直角相等，所以可以用ASA證明它們全等；

（2）此類題，前面的問題是給后面做鋪墊，第一問已經證明四邊形DEFG為正方形，結合第一問我們很容易發現并證明△ADE≌△CDG，從而得到∠DCG=∠CAD=45°；

（3）當當E點在A處時，點G在C處；當E點在C處時，點G在AD的延長線上，并且AD=DG，以CD為邊作正方形，我們會發現G點的運動軌跡剛好是正方形的對角線，它的長度等于.

證明:(1)

作EM⊥BC,EN⊥CD,

∵四邊形ABCD為正方形

∴∠DCB=90°，∠ACB=∠ACD=45°

又∵EM⊥BC,EN⊥CD，

∴EM=EN（角平分線上的點到角兩邊距離相等），

∠MEN=90°，

∴∠MEF+∠NEF=90°，

∵四邊形DEFG為矩形，

∴∠DEF=90°，

∴∠NED+∠NEF=90°，

∴∠MEF=∠NED，

在△EMF和△END中

∵

∴△EMF≌△END，

∴DE=DF,

∴矩形DEFG為正方形；

（2）①證明：∵正方形ABCD、DEFG

∴AD=CD，ED=GD

∵∠ADE+∠DEC=90°，∠CDG+∠EDC=90°

∴∠ADE=∠CDG

在△ADE和△CDG中，

∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，ED=GD

∴△ADE≌△CDG

∴∠DCG=∠EAD=45°

∴∠DCG的大小始終保持不變

②

以CD為邊作正方形DCPQ，連接QC

∴∠DCQ=45°，

又∵∠DCG=45°

∴C、G、Q在同一條直線上，

當E點在A處時，點G在C處；當E點在C處時，點G在Q處，

∴G點的運動軌跡為QC，

∵正方形ABCD的邊長為2

所以QC= ，

即點G運動的路徑長為