Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于點A（-1，0）、B（4，0）．點M、N在x軸上，點N在點M右側，MN=2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．設點M的橫坐標為m．
（1）求這條拋物線所對應的函數關系式．
（2）求點C在這條拋物線上時m的值．
（3）將線段CN繞點N逆時針旋轉90°后，得到對應線段DN．
①當點D在這條拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標．
②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當點E在這條拋物線的對稱軸上時，直接寫出所有符合條件的m值．
（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

））

Answer 1

（1）∵拋物線經過點A（-1，0）、B（4，0），
∴

a-b-2=0 16a+4b-2=0.

解得

a= 1 2 b=- 3 2 .

∴拋物線所對應的函數關系式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴點C的坐標為（m，2），
∵點C（m，2）在拋物線上，
∴

1

2

m²-

3

2

m-2=2，
解得m₁=

3+ 41

2

，m₂=

3- 41

2

．
∴點C在這條拋物線上時，m的值為

3+ 41

2

或

3- 41

2

；

（3）①∵將線段CN繞點N逆時針旋轉90°后，得到對應線段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=

2

CM=

2

MN，
∴CD=

2

CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴點D的坐標為（m，-2）．
又∵拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對稱軸為直線x=

3

2

，點D在這條拋物線的對稱軸上，
∴點D的坐標為（

3

2

，-2）；

②如圖，以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，E點的位置有四種情況：
如果E點在E₁的位置時，
∵點D的坐標為（m，-2），MN=ME₁=2，點N的坐標為（m+2，0），
∴點E₁的（m-2，0），
∵點E₁在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對稱軸直線x=

3

2

上，
∴m-2=

3

2

，解得m=

7

2

；
如果E點在E₂的位置時，
∵點D的坐標為（m，-2），點N的坐標為（m+2，0），
∴點E₂的（m+2，-4），
∵點E₂在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對稱軸直線x=

3

2

上，
∴m+2=

3

2

，解得m=-

1

2

；
如果E點在E₃的位置時，
∵點D的坐標為（m，-2），
∴點E₃的（m，2），
∵點E₃在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對稱軸直線x=

3

2

上，
∴m=

3

2

；
如果E點在E₄的位置時，
∵點D的坐標為（m，-2），點N的坐標為（m+2，0），
∴點E₄的（m+4，-2），
∵點E₄在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對稱軸直線x=

3

2

上，
∴m+4=

3

2

，解得m=-

5

2

；
綜上可知，當點E在這條拋物線的對稱軸上時，所有符合條件的m的值為m=-

5

2

或m=-

1

2

或m=

3

2

或m=

7

2

．