Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為直線x=-1，B（1，0），C（0，-3）．
（1）求二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到A、C兩點距離之差最大？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，經過點B（1，0），C（0，-3），
∴

- b 2a =-1 a+b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=2 c=-3

，
所以，二次函數的解析式是：y=x²+2x-3；

（2）如圖，∵A、B兩點關于對稱軸x=-1對稱，
∴點A（-3，0），
作直線AC交對稱軸于點P，點P即為所求，
根據三角形的三邊關系，PA-PC＜AC，
所以，當點P為AC與對稱軸的交點時，點P到A、C兩點距離之差最大，
設直線BC的解析式是：y=kx+b，
∴

k+b=0 b=-3

，
解得

k=3 b=-3

，
∴設直線AC的解析式是：y=3x-3，
當x=-1時，y=-6，
∴點P的坐標是（-1，-6）．