Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC＝∠D．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）若BC＝2，∠D＝60°時，求劣弧AC的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，則可得AE是⊙O的切線；
（2）首先連接OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得∠AOC=120°，由弧長公式，即可求得劣弧AC的長．

解：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，

∴∠ABC＝∠D，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°．

∴∠BAC＝30°，

∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，

即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切線；

（2）如圖，連接OC，

∵∠ABC＝∠D＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∴劣弧AC的長為＝．