Question

如圖（1），四邊形ABCD內部有一點P，使得S_△APD+S_△BPC=S_△PAB+S_△PCD，那么這樣的點P叫做四邊形ABCD的等積點．
（1）如果四邊形ABCD內部所有的點都是等積點，那么這樣的四邊形叫做等積四邊形．
①請寫出你知道的等積四邊形：

 

，

 

，

 

，

 

，（四例）
②如圖（2），若四邊形ABCD是平行四邊形且S_△ABP=8，S_△APD=7，S_△BPC=15，則S_△PCD=

 

．
（2）如圖（3），等腰梯形ABCD，AD=4，BC=10，AB=5，直線l為等腰梯形的對稱軸，分別交AD于點E，交BC于點F．
①請在直線l上找到等腰梯形的等積點，并求出PE的長度．
②請找出等腰梯形ABCD內部所有的等積點，并畫圖表示．

Answer 1

分析：（1）①過O作EF⊥BC于F，交AD于E，根據平行四邊形的性質和 三角形的面積求出S_△OAD+S_△OBC=

1

2

S_{平行四邊形ABCD}即可；②根據已知公式代入求出即可；
（2）①作AR⊥BC于R，DT⊥BC于T，根據勾股定理求出AR，計算等腰梯形的面積，根據已知得到∴

1

2

×AD×PE+

1

2

×BC×（4-PE）=14，求出即可；②根據求出的PE=2，計算PF=PE=2，根據梯形的中位線定理即可得到答案．

解答：（1）①解
過O作EF⊥BC于F，交AD于E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥AD，
∴S_△OAD+S_△OBC=

1

2

×AD×OE+

1

2

×BC×OF=

1

2

BC×EF=

1

2

S_{平行四邊形ABCD}，
同理S_△OAB+S_△OCD=

1

2

S_{平行四邊形ABCD}，
∴S_△OAB+S_△OCD=S_△OAD+S_△OBC，
∴平行四邊形ABCD符合條件，
同理：正方形、矩形、菱形都符合，
故答案為：正方形、矩形、菱形、平行四邊形．

②解：∵四邊形ABCD是平行四邊形且S_△ABP=8，S_△APD=7，S_△BPC=15，
∴S_△PCD+S_△PAB=S_△PAD+S_△PBC，
∴S_△PCD=7+15-8=14，
故答案為：14．

（2）①解：作AR⊥BC于R，DT⊥BC于T，
∵等腰梯形ABCD，
∴BR=TC=

1

2

（BC-AD）=3，
由勾股定理得：AR=DT=

AB2-BR2

=4，
∴等腰梯形ABCD的面積是

1

2

×（AD+BC）×AR=

1

2

×（4+10）×4=28，
∴S_△PAD+S_△PBC=

1

2

×28=14，
∴

1

2

×AD×PE+

1

2

×BC×（4-PE）=14，
解得：PE=2，
答：PE的長是2．

②解過P作HK∥AD交AB于H，交CD于K，
即作等腰梯形的中位線HK，
則等腰梯形ABCD內部所有的等積點是線段HK上任意一點都符合（端點H、K除外），如圖．

點評：本題主要考查對等腰梯形的性質，平行四邊形的性質，三角形的面積，三角形的中位線定理，勾股定理，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．