Question

【題目】如圖，已知點A（﹣1，0），B（4，0），點C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C三點，其頂點為M．

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；
（2）試判斷直線CM與以AB為直徑的圓的位置關系，并加以證明；
（3）在拋物線上是否存在點N，使得S△BCN=4？如果存在，那么這樣的點有幾個？如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4；

由射影定理，得：OC2=OAOB=4，則OC=2，即點C（0，2）；

設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣4），將C點代入上式，得：

2=a（0+1）（0﹣4），a=﹣ ，

∴拋物線的解析式：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2

（2）

解：直線CM與以AB為直徑的圓相切．理由如下：

如右圖，設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，連接CD．

由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，則點D為Rt△ABC斜邊AB的中點，CD= AB．

由（1）知：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

則點M（ ， ），ME= ﹣2= ；

而CE=OD= ，OC=2；

∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△CEM，

∴∠CME=∠CDO，

∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，

而CD等于⊙D的半徑長，所以直線CM與以AB為直徑的圓相切

（3）

解：由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2 ；

則：S△BCN= BCh= ×2 ×h=4，h= ；

過點B作BF⊥BC，且使BF=h= ，過F作直線l∥BC交x軸于G．

Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO= ，BG=BF÷sin∠BGF= ÷ =4；

∴G（0，0）或（8，0）．

易知直線BC：y=﹣ x+2，則可設直線l：y=﹣ x+b，代入G點坐標，得：b=0或b=4，則：

直線l：y=﹣ x或y=﹣ x+4；

聯立拋物線的解析式后，可得：

或 ，

則 N1（2+2 ，﹣1﹣ ）、N2（2﹣2 ，﹣1+ ）、N3（2，3）．

【解析】（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用射影定理能求出OC的長，即可確定C點坐標，再利用待定系數法能求出該拋物線的解析式．（2）此題的解法有兩種：①過AB的中點作直線CM的垂線，比較該垂線段與AB的一半（半徑）的大小關系，若兩者相等，則直線CM與AB為直徑的圓相切；若該垂線段小于半徑長，則兩者的位置關系為相交；若該垂線段大于半徑長，則兩者的位置關系為相離；②連接AB中點（設為點D）和點C，根據直角三角形的性質知：CD為⊙D的半徑長，那么只需判斷CD是否與CM垂直即可，若垂直，則直線CM與⊙D相切；若不垂直，則相交．（3）先求出線段BC的長，根據△BCN的面積，可求出BC邊上的高，那么做直線l，且直線l與直線BC的長度正好等于BC邊上的高，那么直線l與拋物線的交點即為符合條件的N點．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．