Question

【題目】問題提出

（1）如圖1，正方形ABCD的對角線交于點O，△CDE是邊長為6的等邊三角形，則O、E之間的距離為 ；

問題探究

（2）如圖2，在邊長為6的正方形ABCD中，以CD為直徑作半圓O，點P為弧CD上一動點，求A、P之間的最大距離；

問題解決

（3）窯洞是我省陜北農村的主要建筑，窯洞賓館更是一道靚麗的風景線，是因為窯洞除了它的堅固性及特有的外在美之外，還具有冬暖夏涼的天然優點家住延安農村的一對即將參加中考的雙胞胎小寶和小貝兩兄弟，發現自家的窯洞(如圖3所示)的門窗是由矩形ABCD及弓形AMD組成，AB=2m，BC=3.2m，弓高MN=1.2m(N為AD的中點，MN⊥AD)，小寶說，門角B到門窗弓形弧AD的最大距離是B、M之間的距離．小貝說這不是最大的距離，你認為誰的說法正確？請通過計算求出門角B到門窗弓形弧AD的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（2）小貝的說法正確，理由見解析，．

【解析】

（1）連接AC，BD，由OE垂直平分DC可得DH長，易知OH、HE長，相加即可；

（2）補全⊙O，連接AO并延長交⊙O右半側于點P，則此時A、P之間的距離最大，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO長，易求AP長；

（3）小貝的說法正確，補全弓形弧AD所在的⊙O，連接ON，OA，OD，過點O作OE⊥AB于點E，連接BO并延長交⊙O上端于點P，則此時B、P之間的距離即為門角B到門窗弓形弧AD的最大距離，在Rt△ANO中，設AO=r，由勾股定理可求出r，在Rt△OEB中，由勾股定理可得BO長，易知BP長.

解：（1）如圖1，連接AC，BD，對角線交點為O，連接OE交CD于H，則OD=OC．

∵△DCE為等邊三角形，

∴ED=EC，

∵OD=OC

∴OE垂直平分DC，

∴DHDC=3．

∵四邊形ABCD為正方形，

∴△OHD為等腰直角三角形，

∴OH=DH=3，

在Rt△DHE中，

HEDH=3，

∴OE=HE+OH=33；

（2）如圖2，補全⊙O，連接AO并延長交⊙O右半側于點P，則此時A、P之間的距離最大，

在Rt△AOD中，AD=6，DO=3，

∴AO3，

∴AP=AO+OP=33；

（3）小貝的說法正確．理由如下，

如圖3，補全弓形弧AD所在的⊙O，連接ON，OA，OD，過點O作OE⊥AB于點E，連接BO并延長交⊙O上端于點P，則此時B、P之間的距離即為門角B到門窗弓形弧AD的最大距離，

由題意知，點N為AD的中點，，

∴ANAD=1.6，ON⊥AD，

在Rt△ANO中，

設AO=r，則ON=r﹣1.2．

∵AN2+ON2=AO2，

∴1.62+(r﹣1.2)2=r2，

解得：r，

∴AE=ON1.2，

在Rt△OEB中，OE=AN=1.6，BE=AB﹣AE，

∴BO，

∴BP=BO+PO，

∴門角B到門窗弓形弧AD的最大距離為．