Question

【題目】(2016湖南省邵陽市第25題)尤秀同學遇到了這樣一個問題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設BC=a，AC=b，AB=c．

求證：a2+b2=5c2

該同學仔細分析后，得到如下解題思路：

先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計算，消去m，n即可得證

（1）請你根據以上解題思路幫尤秀同學寫出證明過程．

（2）利用題中的結論，解答下列問題：

在邊長為3的菱形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點，E， F分別為線段AO，DO的中點，連接BE，CF并延長交于點M，BM，CM分別交AD于點G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、5

【解析】

試題分析：(1)、設PF=m，PE=n，連結EF，如圖1，根據三角形中位線性質得EF∥AB，EF=c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據勾股定理得到n2+4m2=b2，m2+4n2=a2，則5（n2+m2）=（a2+b2），而n2+m2=EF2=c2，所以a2+b2=5c2；(2)、利用（1）的結論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，再利用△AEG∽△CEB可計算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據平行線分線段長比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得MG2+MH2=5．

試題解析：(1)、設PF=m，PE=n，連結EF，如圖1， ∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF為△ABC的中位線，AE=b，BF=a， ∴EF∥AB，EF=c，

∴△EFP∽△BPA， ∴，即==， ∴PB=2n，PA=2m，

在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2， ∴n2+4m2=b2①，

在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2， ∴m2+4n2=a2②，

①+②得5（n2+m2）=（a2+b2），

在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2， ∴n2+m2=EF2=c2， ∴5c2=（a2+b2）， ∴a2+b2=5c2；

(2)、∵四邊形ABCD為菱形， ∴BD⊥AC， ∵E，F分別為線段AO，DO的中點，

由（1）的結論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△CEB， ∴==， ∴AG=1，

同理可得DH=1， ∴GH=1， ∴GH∥BC， ∴===，

∴MB=3GM，MC=3MH， ∴9MG2+9MH2=45， ∴MG2+MH2=5．