Question

【題目】已知AB∥CD，點M、N分別是AB、CD上兩點，點G在AB、CD之間，連接MG、NG．

（1）如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數；

（2）如圖2，若點P是CD下方一點，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度數；

（3）如圖3，若點E是AB上方一點，連接EM、EN，且GM的延長線MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠AMG+∠CNG＝90°；（2）∠MGN+∠MPN＝90°；（3）∠AME＝50°．

【解析】

（1）過G作GH∥AB，依據兩直線平行，內錯角相等，即可得到∠AMG+∠CNG的度數；

（2）過G作GK∥AB，過點P作PQ∥AB，設∠GND=α，利用平行線的性質以及角平分線的定義，求得∠MGN=30°+α，∠MPN=60°-α，即可得到∠MGN+∠MPN=30°+α+60°-α=90°；

（3）過G作GK∥AB，過E作ET∥AB，設∠AMF=x，∠GND=y，利用平行線的性質以及角平分線的定義，可得∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°-y-2x，∠MGN=x+y，再根據2∠MEN+∠MGN=105°，即可得到2（90°-y-2x）+x+y=105°，求得x=25°，即可得出∠AME=2x=50°．

（1）如圖1，過G作GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴GH∥AB∥CD，

∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，

∵MG⊥NG，

∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；

（2）如圖2，過G作GK∥AB，過點P作PQ∥AB，設∠GND＝α，

∵GK∥AB，AB∥CD，

∴GK∥CD，

∴∠KGN＝∠GND＝α，

∵GK∥AB，∠BMG＝30°，

∴∠MGK＝∠BMG＝30°，

∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，

∴∠GMP＝∠BMG＝30°，

∴∠BMP＝60°，

∵PQ∥AB，

∴∠MPQ＝∠BMP＝60°，

∵ND平分∠GNP，

∴∠DNP＝∠GND＝α，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠QPN＝∠DNP＝α，

∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α，

∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°；

（3）如圖3，過G作GK∥AB，過E作ET∥AB，設∠AMF＝x，∠GND＝y，

∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，

∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，

∴∠AME＝2x，

∵GK∥AB，

∴∠MGK＝∠BMG＝x，

∵ET∥AB，

∴∠TEM＝∠EMA＝2x，

∵CD∥AB∥KG，

∴GK∥CD，

∴∠KGN＝∠GND＝y，

∴∠MGN＝x+y，

∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，

∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，

∵ET∥AB∥CD，

∴ET∥CD，

∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，

∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，

∵2∠MEN+∠MGN＝105°，

∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°，

∴x＝25°，

∴∠AME＝2x＝50°．