Question

【題目】如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中，．

將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖的位置，使得點O與點N重合，CD與MN相交于點E，求的度數；

將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉，使一邊OD在的內部，如圖3，且OD恰好平分，CD與MN相交于點E，求的度數；

將圖1中的三角尺OCD繞點O按每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，在第______ 秒時，邊CD恰好與邊MN平行；在第______ 秒時，直線CD恰好與直線MN垂直直接寫出結果

Answer 1

【答案】(1)105°;(2)見解析;(3) 5或17；11或23．

【解析】（1）根據三角形的內角和定理可得∠CEN=180°﹣∠DCN﹣∠MNO，代入數據計算即可得解；

（2）根據角平分線的定義求出∠DON=45°，利用內錯角相等兩直線平行求出CD∥AB，再根據兩直線平行，同旁內角互補求解即可；

（3）①分CD在AB上方時，CD∥MN，設OM與CD相交于F，根據兩直線平行，同位角相等可得∠OFD=∠M=60°，然后根據三角形的內角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方時，CD∥MN，設直線OM與CD相交于F，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DFO=∠M=60°，然后利用三角形的內角和定理求出∠DOF，再求出旋轉角即可；②分CD在OM的右邊時，設CD與AB相交于G，根據直角三角形兩銳角互余求出∠CGN，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CON，再求出旋轉角即可，CD在OM的左邊時，設CD與AB相交于G，根據直角三角形兩銳角互余求出∠NGD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式求出∠AOC，然后求出旋轉角，計算即可得解．

（1）在△CEN中，∠CEN=180°﹣∠DCN﹣∠MNO

=180°﹣45°﹣30°

=105°；

（2）∵OD平分∠MON，∴∠DON=∠MPN=×90°=45°，∴∠DON=∠D=45°，∴CD∥AB，∴∠CEN=180°﹣∠MNO=180°﹣30°=150°；

（3）如圖1，CD在AB上方時，設OM與CD相交于F．

∵CD∥MN，∴∠OFD=∠M=60°．在△ODF中，∠MOD=180°﹣∠D﹣∠OFD=180°﹣45°﹣60°=75°，∴旋轉角為75°，t=75°÷15°=5秒；

CD在AB的下方時，設直線OM與CD相交于F．

∵CD∥MN，∴∠DFO=∠M=60°．在△DOF中，∠DOF=180°﹣∠D﹣∠DFO=180°﹣45°﹣60°=75°，∴旋轉角為75°+180°=255°，t=255°÷15°=17秒；

綜上所述：第5或17秒時，邊CD恰好與邊MN平行；

如圖2，CD在OM的右邊時，設CD與AB相交于G．

∵CD⊥MN，∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，∴旋轉角為180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，t=165°÷15°=11秒，CD在OM的左邊時，設CD與AB相交于G．

∵CD⊥MN，∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，∴旋轉角為360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，t=345°÷15°=23秒．

綜上所述：第11或23秒時，直線CD恰好與直線MN垂直．

故答案為：5或17；11或23．