Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，二次函數(shù)y=ax²+x +c的圖象F交x軸于B、C兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）證明：在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請求出直線BD的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l過D且分別交直線BA、BC于不同的P、Q兩點(diǎn)，AC、BD相交于N。

①若直線l⊥BD，如圖1所示，試求的值；

②若l為滿足條件的任意直線。如圖2所示，①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，證明你的猜想；若不成立，請舉出反例。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+x +c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（-3，0），M（0，-1），

∴  ，解得。

∴二次函數(shù)的解析式為：。

（2）證明：在中，令y=0，得，解得x₁=－3，x₂=2。

∴C（2，0），∴BC=5。

令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。

又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。∴A（0，4）。

設(shè)AD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，如圖1所示，

則，解得x₁=5，x₂=－6（位于第二象限，舍去）。

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4）。∴AD=BC=5。

又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，即在拋物線F上存在點(diǎn)D，使A、B、C、D四點(diǎn)連接而成的四邊形恰好是平行四邊形。

設(shè)直線BD解析式為：y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），

∴ ，解得：。

∴直線BD解析式為：。

（3）在Rt△AOB中，，

又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形。

①若直線l⊥BD，如圖1所示，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。∴AC∥直線l。∴。

∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。

∴。

②若l為滿足條件的任意直線，如圖2所示，此時(shí)①中的結(jié)論依然成立，理由如下：

∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。∴。

∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。

∴ 

。

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式。

（2）首先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，可得AD=BC且AD∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形；再根據(jù)B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式。

（3）本問的關(guān)鍵是判定平行四邊形ABCD是菱形。

①推出AC∥直線l，從而根據(jù)平行線間的比例線段關(guān)系，求出BP、CQ的長度，計(jì)算出。

②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ=25，利用這個(gè)關(guān)系式對進(jìn)行分式的化簡求值，結(jié)論為 不變。