Question

（2012•達州）如圖1，在直角坐標系中，已知點A（0，2）、點B（-2，0），過點B和線段OA的中點C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE．
（1）填空：點D的坐標為

（-1，3）

，點E的坐標為

（-3，2）

．
（2）若拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A、D、E三點，求該拋物線的解析式．
（3）若正方形和拋物線均以每秒

5

個單位長度的速度沿射線BC同時向上平移，直至正方形的頂點E落在y軸上時，正方形和拋物線均停止運動．
①在運動過程中，設正方形落在y軸右側部分的面積為s，求s關于平移時間t（秒）的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍．
②運動停止時，求拋物線的頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）構造全等三角形，由全等三角形對應線段之間的相等關系，求出點D、點E的坐標；
（2）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）本問非常復雜，須小心思考與計算：
①為求s的表達式，需要識別正方形（與拋物線）的運動過程．正方形的平移，從開始到結束，總共歷時

3

2

秒，期間可以劃分成三個階段：當0＜t≤

1

2

時，對應圖（3）a；當

1

2

＜t≤1時，對應圖（3）b；當1＜t≤

3

2

時，對應圖（3）c．每個階段的表達式不同，請對照圖形認真思考；
②當運動停止時，點E到達y軸，點E（-3，2）運動到點E′（0，

7

2

），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了

3

2

個單位．由此得到平移之后的拋物線解析式，進而求出其頂點坐標．

解答：解：（1）由題意可知：OB=2，OC=1．
如圖（1）所示，過D點作DH⊥y軸于H，過E點作EG⊥x軸于G．
易證△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（-1，3）；
同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（-3，2）．
∴D（-1，3）、E（-3，2）．

（2）拋物線經過（0，2）、（-1，3）、（-3，2），
則

c=2 a-b+c=3 9a-3b+c=2

?
解得  

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴y=-

1

2

x2-

3

2

x+2．

（3）①當點D運動到y軸上時，t=

1

2

．
當0＜t≤

1

2

時，如圖（3）a所示．
設D′C′交y軸于點F
∵tan∠BCO=

OB

OC

=2，又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2，即

FC′

CC′

=2
∵CC′=

5

t，∴FC′=2

5

t．?
∴S_△CC′F?=

1

2

CC′•FC′=

1

2

5

t×2

5

t=5t²
當點B運動到點C時，t=1．
當

1

2

＜t≤1時，如圖（3）b所示．
設D′E′交y軸于點G，過G作GH⊥B′C′于H．
在Rt△BOC中，BC=

22+12

=

5

∴GH=

5

，∴CH=

1

2

GH=

5

2

∵CC′=

5

t，∴HC′=

5

t-

5

2

，∴GD′=

5

t-

5

2

∴S_{梯形CC′D′G}?=

1

2

（

5

t-

5

2

+

5

t） 

5

=5t-

5

4

當點E運動到y軸上時，t=

3

2

．
當1＜t≤

3

2

時，如圖（3）c所示
設D′E′、E′B′分別交y軸于點M、N
∵CC′=

5

t，B′C′=

5

，
∴CB′=

5

t-

5

，?∴B′N=2CB′=2

5

t-2

5

∵B′E′=

5

，∴E′N=B′E′-B′N=3

5

-2

5

t
∴E′M=

1

2

E′N=

1

2

（3

5

-2

5

t）
∴S_△MNE′?=

1

2

（3

5

-2

5

t）•

1

2

（3

5

-2

5

t）=5t²-15t+

45

4

∴S_{五邊形B′C′D′MN}?=S_{正方形B′C′D′E′}?-S_△MNE′?=(

5

)2-（5t²-15t+

45

4

）=-5t²+15t-

25

4

綜上所述，S與x的函數關系式為：
當0＜t≤

1

2

時，S=5t²
當

1

2

＜t≤1時，S=5t-

5

4

當1＜t≤

3

2

時，S=-5t²+15t-

25

4

②當點E運動到點E′時，運動停止．如圖（3）d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴

OB

B′E′

=

BC

E′C

∵OB=2，B′E′=BC=

5

∴

2

5

=

5

E′C

∴CE′=

5

2

∴OE′=OC+CE′=1+

5

2

=

7

2

∴E′（0，

7

2

）
由點E（-3，2）運動到點E′（0，

7

2

），可知整條拋物線向右平移了3個單位，向上平移了

3

2

個單位．
∵y=-

1

2

x2-

3

2

x+2=y=-

1

2

(x+

3

2

)2+

25

8

?
∴原拋物線頂點坐標為（-

3

2

，

25

8

）
∴運動停止時，拋物線的頂點坐標為（

3

2

，

37

8

）．

點評：本題是非常典型的動線型綜合題，全面考查了初中數學代數幾何的多個重要知識點，包括：二次函數的圖象與性質、待定系數法求解析式、拋物線與幾何變換（平移）、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質等．難點在于第（3）問，識別正方形和拋物線平移過程的不同階段是關鍵所在．作為中考壓軸題，本題涉及考點眾多，計算復雜，因而難度很大，對考生綜合能力要求很高，具有很好的區分度．