Question

如圖，已知AD是△ABC的中線，M是邊AC上的一動點(diǎn)，CM=nAM，BM交AD于N點(diǎn)．
（1）如圖①，若n=1，則

AN

ND

=

 

．如圖②，若n=2，則

AN

ND

=

 

．如圖③，若n=3，則

AN

ND

=

 

．
（2）猜想，

AN

ND

與n存在怎樣的關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)n=

 

時，恰有

AN

ND

=

CM

AM

．

Answer 1

分析：（1）取BM的中點(diǎn)E，連接DE，根據(jù)中位線及相似三角形性質(zhì)可得，

AN

DN

=

AM

DE

，由CM=nAM，DE=

1

2

CM，即可得AN：ND=2：n，代入n的值即可得解；
（2）同（1）中證明方法；
（3）由（2）可把（3）題變形為

2

n

=n時，求n的值，即可求得解．

解答：解：（1）三空分別填2、1、

2

3

；

（2）取BM的中點(diǎn)E，連DE，根據(jù)DE∥AC，可證得△ANM∽△DNE，

∵ AN DN = AM DE ，又 CM AM =n，∴ 2DE AM =n ∴ AN DN = AM DE = 2 n

（3）∵

AN

DN

=

2

n

，CM=nAM，
∴原式可化簡為：

2

n

=n，解n=

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，并涉及到代數(shù)式求解的問題．