Question

【題目】如圖，已知二次函數y=x2+bx﹣與x軸交于點A（﹣3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E．

（1）試求出二次函數的表達式和點B的坐標；

（2）當點P在線段AO（點P不與A、O重合）運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3）是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），B（1，0）；（2）；（3）點P的坐標為（4，0）時，此 時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為．

【解析】分析：（1）將點A的坐標代入二次函數的解析式求得其解析式，然后求得點B的坐標即可求得正方形ABCD的邊長，從而求得點D的縱坐標.

（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，從而得到有關兩個變量的二次函數，求最值即可.

（3）分點P位于y軸左側和右側兩種情況討論即可得到重疊部分的面積.

詳解：（1）將點A（﹣3，0）代入y=x2+bx﹣得﹣3b﹣=0，解得b=1，

∴二次函數的表達式為y=x2+x﹣，

當y=0時， x2+x﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，

∴B（1，0）；

（2）設PA=t（﹣3＜t＜0），則OP=3﹣t，如圖1，

∵DP⊥PE，

∴∠DPA=∠PEO，

∴△DAP∽△POE，

∴=，即=，

∴OE=﹣t2+t

=﹣（t﹣）2+，

∴當t=時，OE有最大值，即P為AO中點時，OE的最大值為；

（3）存在．

當點P在y軸左側時，如圖2，DE交AB于G點，

∵PD=PE，∠DPE=90°，

∴△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=1，OE=1，

∵AD∥OE，

∴==4，

∴AG=，

∴S△DAG=4=，

∴P點坐標為（﹣4，0），此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為；

當P點在y軸右側時，如圖3，DE交AB于G點，DP與BC相交于Q，

同理可得△DAP≌△POE，

∴PO=AD=4，

∴PA=7，OE=7，

∵AD∥OE，

∴==，

∴OG=，

同理可得BQ=

∴S四邊形DGBQ=×（+1）×4+×4×=

∴當點P的坐標為（4，0）時，此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為．