Question

如圖，四邊形ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，點(diǎn)D為BD的中點(diǎn)，且OA平分∠BAC．
（1）求證：OC平分∠ACD；
（2）求證：OA⊥OC；
（3）求證：AB+CD=AC．

Answer 1

證明：（1）過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

AO=AO OE=OB

，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=

1

2

×180°=90°，
∴OA⊥OC；

（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．