Question

【題目】
（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E、點F分別在邊AB和AD上，且AE=AF．此時，線段BE、DF的數量關系是 ， 位置關系是 ． 請直接寫出結論．
（2）如圖2，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當0°＜α＜90°時，連接BE、DF，此時（1）中的結論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
（3）如圖3，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當α=90°時，連接BE、DF，若正方形的邊長為1，猜想當AE=時，直線DF垂直平分BE．請寫出計算過程．
（4）如圖4，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當90°＜α＜180°時，連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請直接寫出結論： ．

Answer 1

【答案】
（1）BE=DF；BE⊥DF
（2）

中的結論仍然成立．

理由：如圖2中，延長DF交BE于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，AF=AE，∠DAB=∠FAE=90°，

在△DAF和△BAE中，

，

∴△DAF≌△BAE，

∴DF=BE，∠ADF=∠ABR，

∵∠AFD=∠BFH，

∴∠DAF=∠BHF=90°，

∴DF⊥BE

（3）﹣1
（4）正方形
【解析】解：（1.）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∵AF=AE，
∴BE=DF，BE⊥DF，
所以答案是BE=DF，BE⊥DF
（3.）如圖3中，連接BD．

在Rt△ABD中，∵AD=AB=1，
∴BD= = ，
∵DF垂直平分線段EB，
∴DE=DB= ，
∴AE=DE﹣AD= ﹣1，
所以答案是 ﹣1．
（4.）如圖4中，設M、N、G、H分別是BD、DE、EF、BF的中點，連接BE，DF，MN，NG，GH，HM．EB交DF于O，MN交DF于P．

易證：DF=EB，DF⊥EB，
∵DN=NE，DM=MB，
∴MN∥EB，MN= EB，同理可證GH∥EB，GH= EB，MH∥DF，MH= DF，GN∥DF，GN= DF，
∴MN=NG=GH=HM，
∴四邊形MNGH是菱形，
∵MN∥EB，
∴∠DPM=∠DOB=90°，
∵DF∥MH，
∴∠NMH=∠DPM=90°，
∴四邊形MNGH是正方形．
所以答案是正方形
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．