Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，F是邊BC上一點（點F與點B、點C均不重合），AE⊥AF，AE交CD的延長線于點E，連接EF交AD于點G．

（1）求證：BFFC＝DGEC；

（2）設正方形ABCD的邊長為1，是否存在這樣的點F，使得AF＝FG．若存在，求出這時BF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，

【解析】

（1）由正方形的性質，可得AB＝AD，再根據已知和同角的余角相等得出可得出∠BAF＝∠EAD，從而證明出△BAF≌△EAD，則BF＝DE．再根據AD∥BC，推出，化為乘積式即可；

（2）設BF＝x，則FC＝1﹣x，EC＝1+x，由AF＝FG，則∠FAG＝∠FGA，再根據AD∥BC，推出△ABF∽△ECF．則，即．從而可求出x，舍去負根，從而求出BF的長．

（1）∵正方形ABCD，

∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAD＝90°

又∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°

∴∠BAD＝∠EAF，即∠BAF+∠FAD＝∠EAD+∠DAF

∴∠BAF＝∠EAD

∴△BAF≌△EAD，

∴BF＝DE．

∵AD∥BC，

∴△EDG∽△ECF

∴．

∴．

∴BFFC＝DGEC．

（2）存在，

設BF＝x，則FC＝1﹣x，EC＝1+x，

若AF＝FG，則∠FAG＝∠FGA

∵AD∥BC，∴∠BFA＝∠FAG，∠CFE＝∠FGA

∴∠BFA＝∠CFE，

又∠ABF＝∠ECF＝90°

∴△ABF∽△ECF．

∴，即：．

∴x2+2x﹣1＝0．

解得：．（負根舍去）

∴BF=