Question

如圖，在平面直角坐標中，四邊形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，動點P從點O出發，在梯形OABC的邊上運動，路徑為O→A→B→C，到達點C時停止．作直線CP．
（1）求梯形OABC的面積；
（2）當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時，求直線CP的解析式；
（3）當△OCP是等腰三角形時，請寫出點P的坐標（不要求過程，只需寫出結果）．

Answer 1

分析：（1）首先過點C作CE⊥OA于E，過點B作BF⊥OA于F，易得四邊形CEFB是矩形，△OCE與△ABF是等腰直角三角形，繼而可求得OA，CE的長，即可求得梯形OABC的面積；
（2）由直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分，即可求得點P的坐標，然后利用待定系數法即可求得直線CP的解析式；
（3）分別從點P在OA上，在AB上，在BC上去分析求解，即可求得答案．

解答：解：（1）過點C作CE⊥OA于E，過點B作BF⊥OA于F，
∵CB∥OA，
∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，
∴四邊形CEFB是矩形，
∴EF=BC=6，BF=CE，
∵∠COA=45°，
∴CE=OE=OC•sin∠COE=4×

2

2

=2

2

，
∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴∠BAO=∠COA=45°，
同理可得：BF=AF=2

2

，
∴OA=OE+EF+AF=6+4

2

，
∴S_梯形OABC=

1

2

（BC+OA）•CE=

1

2

×（6+6+4

2

）×2

2

=12

2

+8；

（2）∵直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分，
∴S_△OPC=

1

2

S_梯形OABC=6

2

+4，
∵S_△OPC=

1

2

OP•CE，
∴

1

2

×OP×2

2

=6

2

+4，
∴OP=6+2

2

，
∴點P（6+2

2

，0），
∵點C（2

2

，2

2

），
設直線CP的解析式為：y=kx+b，
則

(6+2 2 )k+b=0 2 2 k+b=2 2

，
解得：

k=- 2 3 b=2 2 + 4 3

，
∴直線CP的解析式為：y=-

2

3

x+2

2

+

4

3

；

（3）①當P在OA上時，
若OP=OC時，OP=4，即點P的坐標為（4，0）；
若OC=CP時，則OE=PE=2

2

，
即OP=4

2

，點P的坐標為（4

2

，0）；
若CP=OP時，
∵∠COA=45°，
∴∠PCO=∠COA=45°，
∴∠OPC=90°，
∴OP=OC•cos∠COA=2

2

，
∴點P的坐標為（2

2

，0）；
②當P在AB上時，OP＞OB，PC＜AC，
∵OB=AC，
∴OP＞PC，
∵PC＞BC＞OC，
∴OP＞PC＞OC，
∴此時不存在點P使得△OCP是等腰三角形；
③當點P在CB上時，
若CP=OC，則點P的坐標為（2

2

+4，2

2

）．
∴點P的坐標為：（4，0），（4

2

，0），（2

2

，0），（2

2

+4，2

2

）．

點評：此題屬于一次函數的綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式、等腰梯形的性質、等腰直角三角形的性質以及等腰三角形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．