【題目】 如果一個正整數能表示為兩個連續奇數的平方差，那么我們稱這個正整數為“和諧數”，如8=32-12，16=52-32，24=72-52，因此，8，16，24這三個數都是“和諧數”．
（1）在32，75，80這三個數中，是和諧數的是______；
（2）若200為和諧數，即200可以寫成兩個連續奇數的平方差，則這兩個連續奇數的和為______；
（3）小鑫通過觀察發現以上求出的“和諧數”均為8的倍數，設兩個連續奇數為2n-1和2n+1（其中n取正整數），請你通過運算驗證“和諧數是8的倍數”這個結論是否正確．
【答案】（1）32，80；（2）100；（3）“和諧數是8的倍數”這個結論是正確的，證明詳見解析
【解析】
（1）根據“和諧數”的定義，設出一般的情況，看和諧數應滿足什么條件，以此條件判斷32，75，80這三個數中，哪些數是和諧數；
（2）用字母表示兩個連續奇數與和諧數，由和諧數是200，列出方程，解出即得到這兩個連續的奇數，從而可以求得這兩個連續奇數的和；
（3）用字母表示兩個連續奇數與和諧數，通過化簡，可以證明結論成立．
解：（1）由“和諧數”的定義，設這兩個連續的奇數分別為
，
，
則和諧數可表示為：
，（其中
表示正整數）
∴“和諧數”就是8的正整數倍，
∴32，80是和諧數，75不是和諧數，且32=92-72，80=212-192，
故答案為：32；80.
（2）∵
200，即
200，
∴
，
∴
，
，
∵49+51=100，
∴這兩個連續奇數的和為100，
故答案為：100.
（3）證明：∵,
∴“和諧數是8的倍數”這個結論是正確的．
奪冠金卷全能練考系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
（2） 如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=
,其中為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合）,點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，數軸上線段AB＝2(單位長度)，線段CD＝4(單位長度)，點A在數軸上表示的數是－10，點C在數軸上表示的數是16.若線段AB以每秒6個單位長度的速度向右勻速運動，同時線段CD以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t s.
(1)當點B與點C相遇時，點A、點D在數軸上表示的數分別為________；
(2)當t為何值時，點B剛好與線段CD的中點重合；
(3)當運動到BC＝8(單位長度)時，求出此時點B在數軸上表示的數．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】 在某次數學測試中，滿分為100分，各測試內容及所占分值的分布情況如下扇形統計圖，則以下結論正確的是（ �。�
①一元一次不等式（組）部分與二元一次方程組部分所占分值一樣
②因式分解部分在試卷上占10分
③整式的運算部分在整張試卷中所占比例為25%
④觀察、猜想與證明部分的圓心角度數為72°
A.①②③B.②③④C.①④D.①②③④
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】把下列各數分別填入相應的集合內：
，
，
，
，
，
，
（每兩個 
之間依次增加 
個 
）．
（1）正數集合：{ ┄}；
（2）負數集合：{ ┄}；
（3）整數集合：{ ┄}；
（4）無理數集合：{ ┄}．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知數軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數﹣24，﹣10，10，動點P從A出發，以每秒1個單位的速度向終點C移動，設移動時間為t秒．
（1）用含t的代數式表示P到點A和點C的距離：
PA=________，PC=________；
（2）當點P運動到B點時，點Q從A點出發，以每秒3個單位的速度向C點運動，Q點到達C點后，再立即以同樣的速度返回，運動到終點A．在點Q開始運動后，P，Q兩點之間的距離能否為2個單位？如果能，請求出此時點P表示的數；如果不能，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖①,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”.
【試題再現】如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角頂點C在直線DE上,分別過點A,B作AD⊥DE于點D,BE⊥DE于點E.求證:△ADC∽△CEB.
【問題探究】在圖①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由.
【深入探究】如圖③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于點P,過點P作AB⊥AD于點A,交BC于點B.
(1)請證明點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.
(2)若AD=3,BC=5,試求AB的長.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，把一張長10厘米、寬6厘米的長方形紙板分成兩個相同的直角三角形．
（1）甲三角形（如圖2）旋轉一周，可以形成一個怎樣的幾何體？它的體積是多少立方米？
（2）乙三角形（如圖3）旋轉一周，可以形成一個怎樣的幾何體？它的體積是多少立方米？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4.
（1）若∠1=35°，求∠DAC的度數；
（2）若∠BAC=69°，求∠DAC的度數.
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