Question

【題目】如圖①,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”.

【試題再現(xiàn)】如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角頂點C在直線DE上,分別過點A,B作AD⊥DE于點D,BE⊥DE于點E.求證:△ADC∽△CEB.

【問題探究】在圖①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由.

【深入探究】如圖③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于點P,過點P作AB⊥AD于點A,交BC于點B.

(1)請證明點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.

(2)若AD=3,BC=5,試求AB的長.

Answer 1

【答案】【試題再現(xiàn)】見解析；【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點. 理由見解析；【深入探究】(1) 點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點，見解析；(2)

【解析】試題分析：【試題再現(xiàn)】易證∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠CEB=90°，故得△ADC∽△CEB.

【問題探究】要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問題得解．

【深入探究】（1）分別證明△ADP∽△PDC,△BPC∽△PDC,從而△ADP∽△PDC∽△BPC,故點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.

（2）過點P作PE⊥DC于點E,過點D作DF⊥BC于點F,則四邊形ABFD是矩形,通過證明△ADP≌△EDP和△CBP≌△CEP得DC =8，再求出CF=2，在Rt△CDF中,由勾股定理,得AB=2.

試題解析：【試題再現(xiàn)】

∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,

∵AD⊥DE,

∴∠ACD+∠CAD=90°,

∴∠BCE=∠CAD,

∵∠ADC=∠CEB=90°,

∴△ADC∽△CEB.

【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.

理由如下:

∵∠DEC=40°,

∴∠DEA+∠CEB=140°.

∵∠A=40°,

∴∠ADE+∠AED=140°,

∴∠ADE=∠CEB,

又∵∠A=∠B,

∴△ADE∽△BEC,

∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.

【深入探究】

(1)∵AD∥BC,

∴∠ADC+∠BCD=180°,

∵DP平分∠ADC,CP平分∠BCD,

∴∠CDP+∠DCP= (∠ADC+∠BCD)=90°,

∵DA⊥AB,DA∥BC,

∴CB⊥AB,

∴∠DPC=∠A=∠B=90°,

∵∠ADP=∠CDP,

∴△ADP∽△PDC,同理△BPC∽△PDC,

∴△ADP∽△PDC∽△BPC,即點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.

(2)過點P作PE⊥DC于點E,過點D作DF⊥BC于點F,則四邊形ABFD是矩形,

∴DF=AB,

在△ADP與△EDP中,

∴△ADP≌△EDP,

∴AD=DE,

同理△CBP≌△CEP,∴BC=EC,

∴DC=AD+BC=8.

在Rt△CDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,

由勾股定理,得DF==2,

∴AB=2.