Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，過點A作AD∥BC，且點D在點A的右側．點P從點A出發沿射線AD方向以每秒1個單位的速度運動，同時點Q從點C出發沿射線CB方向以每秒2個單位的速度運動，在線段QC上取點E，使得QE=2，連結PE，設點P的運動時間為t秒．

（1）若PE⊥BC，求BQ的長；

（2）請問是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) BQ= ；（2）存在，t=4，詳見解析.

【解析】試題分析：

(1)作AM⊥BC于M，PE交AC于點N，則△APN和△CEN是等腰直角三角形，把CE的長在PE上和在CM上用關于t的式子表示，即可得到關于t的方程，從而求解；

(2)根據AP=BE，列出關于t的方程求解.

試題解析：

（1）作AM⊥BC于M，如圖所示：

∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，

∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=BC=5，

∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，

∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，

∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，

∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，

∵CE=CQ-QE=2t-2，∴5-t=2t-2，

解得：t=，BQ=BC-CQ=10-2× = ；

（2）存在，t=4；理由如下：

若以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，

則AP=BE，

∴t=10-2t+2，解得：t=4，

∴存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，t=4.